Виды доказательств

Время: 25-02-2013, 12:15 Просмотров: 1404 Автор: antonin
    
Виды доказательств
Некоторым тривиальным и притом нелогическим, но иг-
рающим большую роль в познании видом доказательства яв-
ляется обоснование высказывания путем непосредственного
обращения к фактам. Достаточным основанием для призна-
ния некоторого утверждения истинным или ложным в этом
случае являются соответствующим образом проверенные по-
казания органов чувств. Таким образом доказано, например,
что существует смена времен года, дня и ночи, что иногда
выпадают дожди, что существуют жидкие и твердые тела (а
для удостоверения в существовании газообразных тел требу-
ются некоторые дополнительные средства!).
Другой вид также тривиального, но уже логического ха-
рактера является доказательство аналитически истинных вы-
471
сказываний. Доказательство их состоит просто в извлечении
некоторой части информации, заключенной в некотором
определении (дескриптивных или логических терминов). На-
пример, для доказательства истинности утверждения, что все
тела протяженны, мы можем просто обратиться к определе-
нию тела, согласно которому телом называют все то, что за-
нимает часть пространства. Истинность утверждения, что у
всякого параллелограмма противоположные стороны парал-
лельны, следует прямо из определения параллелограмма как
четырехугольника с параллельными сторонами. Из определе-
ния самоокупаемого предприятия и понятия рентабельности
непосредственно по правилам логики, без учета каких-либо
утверждений фактического характера, следует, что всякое
рентабельное предприятие является самоокупаемым.
К сказанному — в соответствии с общепринятыми положения-
ми — необходимо сделать добавление. Утверждение, выводимое из
некоторого определения, может быть признано истинным лишь
при условии доказанности существования объектов, вводимых оп-
ределением. В противном случае, введя, например, термин «стран-
ная фигура» и определив его как «фигуру, являющуюся одновре-
менно квадратом и кругом», мы могли бы доказать истинность
утверждений: «Всякая странная фигура является квадратом» и
«Всякая странная фигура есть круг».
Ясно что это замечание касается понятия аналитических
суждений, если аналитичность, как это обычно делается, свя-
зывается с особым видом истинности (логической истинно-
сти). Необходимым условием признания в таком случае не-
которого суждения аналитическим, кроме выводимости его
из определения, является также непустота термина — субъ-
екта этого суждения.
Логически сложные доказательства могут иметь различ-
ные виды в зависимости от характера аргументов, формы
доказательства, от характера тезиса. Наиболее значимым яв-
ляется различение видов доказательств по двум последним
основаниям.
Виды доказательств по характеру тезиса. Если мы хотим
доказать истинность высказывания «Все 5 суть Р», то мы
должны либо дедуктивно вывести его из других истинных
общих суждений1, либо установить посредством перечисле-
1
Например, по модусу Barbara первой фигуры силлогизма (см. § 37).
472
ния (в форме полной индукции), что каждый предмет из
класса 5 обладает свойством Р, либо показать, что отрицание
этого высказывания приводит к противоречию, либо устано-
вить, что свойство S детерминирует свойство Р, то есть дока-
зать необходимость высказывания вида «Все 5 суть Р». В по-
следнем случае мы доказываем, по существу, более сильное
утверждение, а именно утверждение необходимого характе-
ра вида «Все 5 необходимо суть Р».
Для доказательства же ложности рассматриваемого вы-
сказывания, то есть для опровержения высказывания «Все 5
суть Р», достаточно указать хотя бы один случай, когда пред-
мет из класса 5 не обладает свойством Р.
С доказательством истинности или ложности высказыва-
ний вида «Некоторые 5 суть Р» (существует предмет из клас-
са 5, обладающий свойством Р) дело обстоит двойственным
(по отношению к высказыванию «Все 5 суть Р») образом.
Заметим, что некоторую особенность имеют доказатель-
ства истинности высказываний вида «Некоторые S есть Р» в
логике и математике. Здесь доказательство истинности вы-
сказывания о существовании некоторых объектов осуще-
ствляется часто особым конструктивным образом — посред-
ством указания способа построения (получения) этого объ-
екта и обоснования того, что он удовлетворяет заданным ус-
ловиям. Таково, например, доказательство существования
наибольшего общего делителя некоторых двух чисел, на-
именьшего кратного для них; как помним, математика дает
способ, аппарат, посредством которого в каждом случае мы
можем указать искомое число, если оно действительно суще-
ствует.
Особую значимость в науке имеют доказательства
утверждений о наличии необходимых связей, каковыми соб-
ственно и являются законы науки. Однако с ними связаны и
особые трудности. Мы уже упоминали, что доказательство
истинности утверждения «Все S суть Р» можно получить из
доказательства истинности высказывания «Свойство S де-
терминирует свойство Р». (Утверждения о детерминирован-
ности одного свойства другим или одного явления другим
представляют высказывания необходимого характера. Детер-
минированность составляет основное содержание законов
науки.)
Для доказательства утверждения «Всякое число, которое
оканчивается на 5 (в десятичной системе), необходимо де-
473
лится на 5», достаточно показать, что число, оканчивающее-
ся на 5, может быть представлено как сумма чисел, в каждом
слагаемом которой имеется делитель 5, и использовать из-
вестное положение арифметики о том, что число, являющее-
ся делителем каждого члена суммы (в данном случае 5), явля-
ется так же и делителем самой суммы.
Вообще, в доказательствах утверждений о наличии необ-
ходимых связей большую роль играет, как мы уже говорили,
метод научных объяснений (см. § 43) и употребляемые в свя-
зи с ним предложения соответствия (см. §42), но для них,
как и вообще для объяснительных теорий, не существует
строгих методов доказательств. Возможно установление
лишь практической достоверности их посредством много-
численных подтверждений. В целом, проблема доказуемости
теорий является одной из наиболее сложных и не разрабо-
танных в логике и философии (см. § 42).
Виды доказательств по форме. Основными видами дока-
зательств, различающихся по форме, являются доказательст-
ва прямые и непрямые (косвенные).
Прямые доказательства представляют собой
дедуктивный вывод, в котором тезис непосредственно выво-
дится из аргументов в качестве заключения вывода.
Непрямое доказательство (истинности или
ложности) высказывания А (тезиса) состоит в том, что оно
достигается посредством опровержения некоторых других
высказываний. Здесь выделяются два вида непрямых доказа-
тельств: доказательство «от противного» (апагогическое) и
доказательство посредством исключения альтернатив.
Доказательство «от противного», осуще-
ствляется посредством применения непрямого правила рас-
суждения:
Для доказательства истинности А при наличии множества
аргументов Г предполагается ложность этого высказывания
(истинность -. А) и показывается, что из Г и этого предполо-
жения выводимо противоречие: ВипВ. Указанное правило
позволяет заключить при этом, что из аргументов Г выводи-
мо А.
474
Опровержение этого рода характеризуется как опровер-
жение путем сведения к абсурду.
Доказательства «от противного» известны, очевидно,
всем из школьных курсов по математике. Заметим, однако,
что там они описываются так, что в них нелегко усмотреть
приведенную только что форму рассуждения. Обратимся к
одному из таких описаний:
Этот способ доказательства состоит в том, что мы делаем
сначала предположение, противоположное тому, что утвер-
ждается теоремой. Затем путем рассуждения, опираясь на
аксиомы и доказанные теоремы, приходим к выводу, проти-
воречащему либо условию теоремы, либо одной из аксиом,
либо доказанной ранее теореме. На этом основании заклю-
чаем, что наше предположение было неверным, а значит,
верно утверждение теоремы.
«Предложение, противоположное тому, что утверждается
теоремой» — это -л А. «Совокупность аксиом, доказанных
ранее теорем и условия теорем» — это Г. Вспомним, что по
правилу логики из множества утверждений Г следует любое
из этих утверждений — в частности, и В, где В — условие
теоремы, аксиома, либо доказанная ранее теорема. То есть,
из этого множества Г мы можем вывести некоторое утверж-
дение В, являющееся теоремой данной теории, в частности,
одной из аксиом или теорем Г или условием теоремы. Если В
следует из Г (П-В), то оно, очевидно, следует (выводимо) и
из Г, -1 А, то есть имеем выводимость Г, ->А\- В.
«Вывод, получаемый посредством рассуждений, и проти-
воречащий условию теоремы, аксиоме либо доказанной ра-
нее теореме» — это -> В. Оно является следствием из множе-
ства Г, -, А. Это значит, имеем вторую выводимость Г, -i А н -i В.
В заключение, исключая промежуточное допущение -,А,
получаем Г \- А.
В указанном выше (школьном) описании этого вида дока-
зательств первая выводимость Г, -. А н В просто упускается
475
Здесь мы, очевидно, употребляем термин «доказательст-
во» в узком смысле — как противоположность опроверже-
нию. Известна также форма непрямого опроверже-
ния А (доказательство -.А), осуществляемое по правилу:
из вида и поэтому ускользает от нашего внимания именно
то, что основой перехода от выводов с использованием -,А
к заключению без этого допущения является возникновение
противоречия В и -л В при использовании -, А, что и указыва-
ет на то, что -. А ложно, и, значит, истинно А. Данная выше
(полная) форма рассуждения является, очевидно, стандарти-
зированной и обобщенной формой доказательств рассматри-
ваемого типа.
По существу, в любом доказательстве «от противного» мы име-
ем в качестве его составной части и указанную выше форму опро-
вержения путем «сведения к абсурду». Именно: мы получаем сна-
чала
где -1-1А означает «неверно, что -i Л». Заключительный шаг дока-
зательства составляет операция «снятия двойного отрицания» по
закону логики, согласно которому -. -. A t= A.
Доказательство посредством исключения
альтернатив состоит в том, что, например, для доказа-
тельства того, что некоторый проступок совершил Петров,
мы используем в качестве аргумента дизъюнктивное выска-
зывание (перечисление альтернатив): «Этот поступок совер-
шил Иванов или Сидоров, или Петров», а также знание (ко-
торое составляет другие аргументы), что Иванов не совер-
шал и Сидоров не совершал этого проступка. Отсюда, ис-
ключая первые два члена из приведенной дизъюнкции, полу-
чаем заключение: «Проступок совершил Петров». Обобщен-
ная форма подобных доказательств такова:
где т > 2, а Ат — тезис доказательства.
Ясно, что условием истинности дизъюнктивного аргумен-
та Aj, ..., Ат является перечисление именно всех возможно-
стей, среди которых и тезис, и все его возможные альтерна-
тивы.
Данное правило рассуждения, лежащее в основе непря-
мого доказательства посредством исключения альтернатив,
является, как мог заметить внимательный читатель, обобще-
476
нием известной дедуктивной формы дизъюнктивного силло-
гизма Modus tollendo ponens (см. § 35):
A v В, -iB
А
Аргумент Ах v... vAm, указывающий на все альтернативы,
получается зачастую как результат деления объема некото-
рого понятия. Например, если мы знаем, что простые сужде-
ния бывают единичные, частные и общие, то отсюда получа-
ем дизъюнктивное высказывание: «Некоторое данное про-
стое суждение является единичным или оно является част-
ным, или оно является общим». Если установлено теперь,
что оно не единичное и не общее, то в качестве заключения
имеем утверждение, что данное суждение является частным.
Рассмотренный способ доказательства, согласно свиде-
тельству А. Конан-Дойля, служил основным методом Шерло-
ка Холмса. На вопрос, в чем суть его дедуктивного метода,
Шерлок Холме отвечал: «Установите все возможности, отно-
сящиеся к исследуемому событию, затем исключите после-
довательно все их, кроме одной, тогда это последнее и будет
служить ответом на интересующий вас вопрос!»
Указанное — традиционное — деление доказательств на пря-
мые и непрямые (косвенные) не является достаточно точным, по-
скольку как в той, так и в другой форме доказательства тезис, в
конечном счете, является заключением дедуктивного вывода. Бо-
лее строгим образом следовало бы разделять доказательства на
прямые и косвенные в зависимости от того, используются ли в ка-
честве посылок вывода только аргументы или также и вспомога-
тельные допущения. В последнем случае доказательство является
косвенным, поскольку в нем применяются непрямые (косвенные)
правила вывода (см. § 10).

| распечатать

Другие новости по теме:

Другие новости по теме: