Доказательство и опровержение

Время: 25-02-2013, 12:15 Просмотров: 1402 Автор: antonin
    
Доказательство и опровержение
Заметим, что в силу закона противоречия, согласно кото-
рому для любого высказывания А не может быть истинным
одновременно А и -,А, доказательство А означает одновре-
менно опровержение -i А. В силу закона исключенного треть-
его, согласно которому истинно А или -i А, опровержение А
есть доказательство -,А. Это приводит к возможности упо-
467
требления термина «доказательство» в узком и широком
смысле:
1) в узком смысле мы доказываем А и при этом
опровергаем -i A;
2) в широком смысле и то, и другое есть доказа-
тельство: в одном случае — истинности А, в другом — ис-
тинности -1А или, что то же, ложности А. Иначе говоря, упо-
требляя термин «доказательство» в широком смысле, мы не
различаем доказательство и опровержение.
До некоторых пор мы будем пользоваться этим термином
именно в этом — более широком — смысле и лишь при не-
обходимости подчеркнуть некоторые особенности процесса
опровержения будем выделять его как противоположность
доказательству в узком смысле.
Кроме того, вместо точных, но довольно громоздких вы-
ражений «доказательство утверждения об истинности неко-
торого высказывания А» и «доказательство утверждения о
ложности некоторого которого высказывания А» (без кото-
рых трудно было обойтись при точной формулировке обще-
го понятия аргументации) будем теперь — с разрешения чи-
тателя — употреблять хотя и менее точные, но более удоб-
ные выражения: «доказательство истинности А» и «доказа-
тельство ложности А».
Состав доказательства (и, конечно, опровержения, по-
скольку речь идет о доказательстве в широком смысле). В
доказательстве выделяются:
1. Тезис доказательства — высказывание, истинность
или ложность которого доказывается.
2. Аргументы — высказывания, посредством которых
осуществляется доказательство тезиса.
3. Промежуточные допущения — вспомогательные допу-
щения, которые вводятся в процессе рассуждения (дедук-
ции) и устраняются затем при переходе к окончательному
результату рассуждения1.
4. Форма доказательства — логический способ обоснова-
ния тезиса при помощи аргументов (возможно с использова-
нием промежуточных допущений).
В доказательстве таким способом обоснования тезиса яв-
ляется дедуктивный вывод, то есть вывод, обеспечивающий
1
См. «Непрямые правила», «Эвристические принципы введения допу-
щений» §§ 10, 11.
468
истинность заключения (тезиса) при истинности посылок
(аргументов доказательства). Основу такого дедуктивного
рассуждения составляет совокупность принятых законов ло-
гики и правил перехода от одних высказываний к другим в
процессе доказательства. Указание на характер этих перехо-
дов называют также демонстрацией (см. «Анализ до-
казательства», «анализ вывода» — § 9).
Поскольку речь шла о доказательстве в широком смысле,
приведенная характеристика состава доказательства отно-
сится и к доказательствам в узком смысле, а также и к опро-
вержениям. Рассмотрим теперь более подробно элементы
этого состава.
Поскольку доказательство — это рассуждение, заверша-
ющееся обоснованием тезиса, то форма доказатель-
ства — это форма соответствующего рассуждения — со-
вокупность связей между исходными и возникающими в
процессе рассуждения высказываниями. Если доказательст-
во осуществляется в рамках некоторой логической системы,
то форма его определяется совокупностью употребляемых в
доказательстве законов и правил этой системы.
В процессе демонстрации происходит обоснование пере-
ходов от одних высказываний к другим и таким образом рас-
крывается характер упомянутых связей между высказывани-
ями. Этот момент обоснования отсутствует в так называемых
естественных рассуждениях, когда нет специального описа-
ния используемых в доказательстве логических средств.
Заметим, что в практике научного познания под терми-
ном доказательство имеют в виду не просто дедуктивный
вывод тезиса из множества аргументов, а более широкую
процедуру интеллектуального характера, включающую так-
же и поиск аргументов. А это означает анализ некоторых из-
вестных связей, отношений в той области действительности,
к которой относятся содержащиеся в тезисе утверждения.
Так, доказательство равенства суммы углов треугольника
180° (в Эвклидовой геометрии) включает, как известно, опре-
деленное построение (проведение линии, параллельной од-
ной из сторон треугольника) и анализ соотношений углов,
образованных пересечениями этой линии двумя сторонами
треугольника. В результате анализа оказывается, что в каче-
стве аргументов здесь могут быть взяты уже доказанные тео-
ремы о равенстве накрест лежащих углов, образуемых при
469
пересечении двух параллельных третьей линией, и о равен-
стве развернутого угла 180°.
Существенную роль, так же в качестве аргументов, при
этом играют, наряду с аксиомами, аналитически истинные
утверждения, то есть утверждения, истинные в силу прини-
маемых определений. Такие, например, как «Развернутый
угол — это угол, который образован двумя лучами, каждый
из которых является продолжением другого» (оба луча со-
ставляют одну прямую).
Однако для представления доказательства в более полном
виде в качестве аргументов могли бы быть взяты только ак-
сиомы, которые были использованы в доказательстве упомя-
нутых теорем, и высказывания, истинные по определению.
Использование же ранее доказанных теорем — это способ
сокращения доказательств.
Аргументы — в правильном доказательстве — это
высказывания, истинность которых не вызывает сомнения,
и при этом уверенность в их истинности имеет какие-то ра-
циональные основания. Иначе говоря, аргументы — это та-
кие высказывания, которые выражают знание человека о
наличии или отсутствии соответствующих — утверждаемых
или отрицаемых в этих высказываниях — ситуациях. Прав-
да, у различных людей может быть различное отношение к
одним и тем же высказываниям. Для одних — истинность
высказываний очевидна, у других может вызвать сомнения.
Это обусловливает необходимость учитывать при осуще-
ствлении доказательства и вообще в процессе аргумента-
ции — применяемой в процессе общения — характер ауди-
тории, для которой она предназначена. Таким образом, в за-
висимости от аудитории правомерно употреблять в качестве
аргументов то или иное множество высказываний. Различ-
ными также для разных аудиторий могут быть приемлемые
законы логики и правила вывода. Представитель, например,
интуиционистской или релевантной логики не признает не-
которые способы рассуждения, приемлемые в классической
логике.
Множество высказываний, приемлемых для данной ауди-
тории в качестве несомненно истинных — для доказательст-
ва некоторого утверждения — или в качестве правдоподоб-
ных — когда речь идет лишь о более или менее достаточном
подтверждении, а также совокупность приемлемых логиче-
ских средств, — называется полем аргументации
470
К числу несомненно истинных, или достоверных видов
аргументов, входящих в поле аргументации, в любом
случае обычно относят высказывания, истинность которых
устанавливается на основе чувственного опыта при условии
многократной проверки их с целью убеждения в надежности
показаний органов чувств (во избежание случаев, когда мы
имеем дело с оптическим обманом, миражом и т. п.).
Достоверными являются также утверждения, истинные
по определению — аналитически истинные утверждения; да-
лее, аксиомы содержательной теории, которые нередко даже
и определяют в литературе как «утверждения, не требующие
доказательства» («не требующие» — именно в силу их оче-
видности). Однако история науки знает немало примеров,
свидетельствующих о том, что очевидность не всегда являет-
ся достаточным критерием истинности.
Наконец, аргументами доказательства в составе некото-
рой теории могут быть утверждения, уже ранее доказанные
в этой теории.
Промежуточные допущения играют вспомо-
гательную роль. Они вводятся в зависимости от логической
структуры тезиса и в конечном счете устраняются в процес-
се самого доказательства. Эти высказывания могут быть как
истинными, так и ложными. Например, в доказательствах
«от противного» вводятся — в качестве промежуточных до-
пущений — обычно даже заведомо ложные высказывания.

| распечатать

Другие новости по теме:

Другие новости по теме: