Выводы из сложных высказываний (выводы на основе свойств логических связок)

Время: 25-02-2013, 12:02 Просмотров: 1303 Автор: antonin
    
Выводы из сложных высказываний
(выводы на основе свойств логических связок)
К подобным высказываниям относятся следующие про-
стые формы1 (схемы) умозаключений.
1
Простое умозаключение — это умозаключение, не разложимое на ка-
кие-то другие умозаключения.
333
Условно-категорический силлогизм,
включающий два правильных модуса (разновидности):
— утверждающий модус ус-
ловно-категорического силлогиз-
ма (modus ponens).
— отрицающий модус услов-
но-категорического силлогизма
[modus tollens).
Одна из посылок, как мы видим, здесь — условное вы-
сказывание. Согласно традиционной терминологии, выска-
зывание А в его составе есть основание данного условного
высказывания, В — его следствие (по современной термино-
логии — это соответственно антецедент и консеквент услов-
ного высказывания). В соответствии с этим само умозаклю-
чение в первом случае характеризуют как движение мысли
от утверждения основания условного высказывания (посыл-
ка А) к утверждению его следствия (заключение В). Второй
модус согласно той же терминологии представляет собой
движение мысли от отрицания следствия условного выска-
зывания (посылка не-В) к отрицанию его основания (заклю-
чение не-А). А и В здесь в свою очередь какие-то высказыва-
ния, но не обязательно категорические, как предполагалось в
традиционном учении (откуда и произошло название данных
модусов). Эти высказывания могут быть любыми, в том чис-
ле и сложными.
• Примеры
Ясли по (некоторому данному) проводнику проходит ток
(А), то проводник нагревается (В).
По проводнику проходит ток (А)
Проводник нагревается (В)
Если по (некоторому данному) проводнику проходит ток
(А), то проводник нагревается (В)
Данный проводник не нагревается (не-В)
По проводнику ток не проходит (не-А)
334
Рассмотрим умозаключение:
«Если сумма цифр числа 346 не делится на 3, то оно не
делится на 3. Сумма цифр числа 346 не делится на 3. Следо-
вательно, число 346 не делится на 3». Это умозаключение
также представляет собой утверждающий модус, несмотря
на отрицательный характер второй посылки, ведь она явля-
ется утверждением основания условного высказывания, ко-
торое, как можно увидеть, носит отрицательный характер.
Проанализируем еще одно умозаключение: «Если число
3576 является простым, то оно не делится на 3. Число 3576
делится на 3. Следовательно, число 3576 не является про-
стым» — оно тоже представляет собой отрицающий модус,
несмотря на утвердительный характер второй посылки, по-
скольку она эквивалентна отрицанию следствия условного
высказывания: «Число 3576 не делится на 3». Строго говоря,
мы принимаем здесь еще и правило двойного отрицания, то
есть осуществляем переход от «неверно, что не-В» к «В».
В более формализованном виде — по сравнению с дан-
ным в начале — схемы этих умозаключений соответственно
таковы:
Очевидно, что возможно бесконечное множество вариа-
ций (конкретизаций) исходных схем.
• Упражнение
Установите, к каким из указанных модусов (утверждаю-
щему или отрицающему) относятся умозаключения следую-
щих видов, приведите примеры умозаключений таких видов:
Используя введенную ранее символику (см. «Язык логики
высказываний» — § 10) и рассматривая «Если..., то...» как ма-
1
Вспомните закон де Моргана: «неверно (А и В)» эквивалентно «невер-
но А или неверно В» (-. (А & В) = -i A v -. В).
335
териальную импликацию (« з »), исходные схемы утверж-
дающего и отрицающего модуса условно-категорического
силлогизма можем представить в виде:
Очевидно, что им соответствует отношение логического
следования: (ADB), А (=Ви (Аз Я), -. В (=-iA и логические за-
коны ((A z> В) & А) з В и ((А з В) & -, 5) з -. А. Убедитесь в этом,
используя данный ранее табличный метод (см. § 10)1.
Имея в виду выработку навыков правильных умозаклю-
чений, полезно обратить внимание и на неправильные фор-
мы условно-категорического силлогизма, тем более, что в
практике рассуждений нередко встречаются ошибки, свя-
занные с ними. Таковыми являются заключения «от отрица-
ния основания условного высказывания к отрицанию след-
ствия», а также «от утверждения следствия к утверждению
основания условного высказывания». То есть, неправильны,
не гарантируют истинность заключения при истин-
ности посылок такие формы умозаключений:
Неправильно, например, рассуждать так: «Если число 456
делится на 2 и на 3, то оно делится на 6. Число 456 делится
на 6. Следовательно, оно делится на 2 и на 3». Рассуждение
здесь, очевидно, идет от утверждения следствия к утвержде-
нию основания, то есть неправильно по форме, хотя заклю-
чение здесь (в данном конкретном случае), как нетрудно убе-
диться, является истинным. Но дело в том, что эта истин-
1
Возможность такой проверки дает современная символическая логи-
ка — в традиционной логике не было способа доказательства правильности
описываемых умозаключений.
336
ность заключения не гарантирована истинностью посылок.
Умозаключение кажется здесь правильным, потому что из-
вестна истинность условного высказывания, обратного дан-
ному: «Если число делится на б, то оно делится на 2 и на 3».
Взяв эту посылку вместо данной в нашем примере, мы полу-
чим, конечно, правильное умозаключение.
Условно-категорические выводы описанного вида надо отли-
чать — что не всегда делается — от выводов, в которых вместо ус-
ловной посылки имеется общее суждение субъективно-предикат-
ного типа с условным предикатом (см. § 32). Среди них могут быть
выделены две формы, аналогичные двум основным формам услов-
но-категорического силлогизма:
Утверждающий модус. Для всякого предмета С верно, что если
он обладает свойством А, то он обладает свойством В.
Предмет а из класса С обладает свойством А
Предмет а из класса С обладает свойством В
Отрицающий модус. Для всякого предмета С верно, что если
он не обладает свойством Л, то он не обладает свойством В.
Предмет а из класса С не обладает свойством В
Предмет а из класса С не обладает свойством А
• Пример
Для всякого проводника верно, что если по нему проходит
ток, то он нагревается
По проводнику а проходит ток
Проводник а нагревается
Умозаключения этого типа легко сводятся к рассмотренным —
если учесть, что из общих суждений, которые являются их посыл-
ками, выводимы условные высказывания. Например, из того, что
для всякого проводника верно, что если по нему проходит ток, то
он нагревается, выводимо: если по проводнику а проходит ток,
то он нагревается. В этом выводе применяется правило, подобное
правилу исключения квантора общности в исчислении предикатов
(см. § 11). Будем говорить, что это есть правило перехода от общего
к единичному случаю этого общего.
337
УСЛОВНО-РАЗДЕЛИТЕЛЬНЫЙ
(ЛЕММАТИЧЕСКИЙ) СИЛЛОГИЗМ
Умозаключения этого вида есть выводы из трех и более
высказываний, причем две или более посылок — условные
высказывания, а одна — дизъюнктивная посылка, которая
традиционно называется разделительным суждением. При-
чем разделительное суждение может быть как со слабой, так
и со строгой дизъюнкцией (см. § 30). Мы рассмотрим случай,
когда употребляется слабая дизъюнкция, как более общий
случай.
В ситуации двух условных высказываний эти силлогизмы
называются дилеммами. Причем различают два вида ди-
лемм: конструктивные и деструктивные. Конструктив-
ная (утверждающая) дилемма имеет вид:
Если А,
Если С,
А или
В или
то
то
С
D
В
D
Деструктивная (отрицающая) дилемма:
Если А, то В
Если С, то D
не-В или ке-D
не-А или не-С
Пример конструктивной дилеммы.
Студент, не готовившийся заранее к экзамену, накануне
экзамена оказывается перед дилеммой:
Если я лягу нормально спать, то не подготовлюсь к экзамену.
Если же я буду заниматься ночью, то приду на экзамен
с головной болью.
Но мне остается только или ложиться спать
или заниматься ночью.
Следовательно, я приду на экзамен неподготовленным
или с головной болью.
338
Пример деструктивной дилеммы:
Если Иванов работает, то он получат зарплату.
Если же Иванов учится, то получает стипендию.
Но Иванов не получает зарплату
или не получает стипендию.
Следовательно, он не учится или не работает.1
Однако имеется и третья форма лемматических умозак-
лючений, существование которой обычно не отмечается в
учебниках. Это смешанный условно-раздели-
тельный силлогизм — конструктивно-деструктив-
ный силлогизм или все равно, что деструктивно-конструк-
тивный. Некоторые из членов разделительной посылки в
этих умозаключениях указывают на наличие оснований ка-
ких-нибудь из условных суждений, а иные — представляют
собой отрицание следствий (консеквентов) условных сужде-
ний.
Так, например, конструктивно-деструктивной является
дилемма вида:
Возникает вопрос: возможно ли правильное умозаключе-
ние, если, по крайней мере, один член разделительной (дизъ-
юнктивной) посылки отрицает основание или утверждает
1
Вероятно, читатель почувствовал, что пример здесь довольно надуман-
ный. И это не случайно, ибо если выводы такого рода и встречаются в прак-
тике, то, по-видимому, очень редко. Чаще встречаются формы, когда вместо
дизъюнктивной посылки дается конъюнкция, члены которой являются от-
рицаниями следствий данных условных суждений и заключение в этом слу-
чае представляет собой конъюнкцию отрицаний их оснований (антецеден-
тов). Именно эту форму часто принимают за деструктивную дилемму. В на-
шем случае посылка могла бы быть: «Иванов не получает зарплату и не по-
лучает стипендию». А заключением было бы тогда суждение: «Иванов не
работает и не учится» (хотя допустимо, вообще говоря, и более слабое вы-
сказывание: «Иванов не работает или Иванов не учится», ибо р & g t= р v g.
339
следствие условных посылок? Ответ на этот вопрос стано-
вится очевидным, если учесть возможность сведения лемма-
тических выводов к условно-категорическим. Здесь имеется
в виду особый способ рассуждения, так называемое «рас-
суждение по случаям». Он состоит в том, что при наличии
разделительного суждения для осуществления выводов из
него в сочетании с какими-то другими суждениями пооче-
редно рассматривается каждый из случаев, на которые ука-
зывает разделительное высказывание. В нашем случае, когда
с разделительной посылкой мы имеем условные, вывод каж-
дый раз осуществляется по тому или иному правильному мо-
дусу условно-категорического силлогизма. Так, имея, напри-
мер, условные суждения. «Если А, то В»; «Если С, то D»;
«Если М, то Ф» и разделительное А или не-D или М, рассуж-
даем по случаям:
— положим, истинно А, тогда (по modus ponens) из этого
утверждения и первого условного получаем В;
— далее, полагая истинность не-D, выходим (по modus tol-
lens) не-С;
— и, наконец, в предположении, что имеет место М, за-
ключаем, что истинно Ф.
Поскольку рассматриваемую возможности составляют
дизъюнкцию, то таким же образом объединяем и следствия,
то есть имеем заключение:
«В или не-С или Ф».
Среди дилемм различают еще простые и слож-
ные. Приведенные выше были сложными. Дилемма являет-
ся сложной, когда как основания, так и следствия условных
суждений различны.
В простой дилемме, если она конструктивная, основания
различны, а следствие в условных суждениях одно и то же.
В деструктивной же дилемме основание одно и то же, а
следствия различны.
Если
Если
А,
В,
А или
С
то
то
В
С
С
Если А, то С
Если А, то В
не-С или не-В
не-А
340
Так, приведенное выше рассуждение относительно нера-
дивого студента можно преобразовать в простую конструк-
тивную дилемму:
Если я лягу спать, то не сдам экзамен.
Если буду заниматься ночью, то также не сдам экзамен
(ибо приду с больной головой).
Но я или буду заниматься ночью или лягу спать.
Следовательно, я не сдам экзамен.
Условно-разделительные силлогизмы называют лемма-
тическими умозаключениями, имея в виду возмож-
ность обобщения дилемм за счет увеличения числа условных
высказываний и соответственно — членов разделительного
суждения. Так, умозаключение вида:
называется сложной конструктивной трилеммой.
Читателю должно быть ясно, как можно продолжить
обобщения. Однако случаи, когда число условных суждений
(высказываний) более трех являются весьма уникальными.
Чисто-условный силлогизм. Это выводы из любого коли-
чества посылок, представляющих собой условные высказы-
вания. Наиболее типичны выводы из двух условных выска-
зываний:
Выводы этого вида характеризуют как выводы на основа-
нии транзитивности импликации. Ясно, конечно, что можно
иметь сколь угодно длинную цепь транзитивности:
341
• Пример
Если студент занимается не систематически,
то он не имеет прочных знаний.
Если же он не имеет прочных знаний,
то он не будет хорошим специалистом.
Если студент занимается не систематически,
то он не будет хорошим специалистом.
К числу чисто-условных силлогизмов относится также и
умозаключение вида:
которое называют просто правилом контрапозиции.
• Пример
Если человек знает геометрию,
то он знает теорему Пифагора.
Если он не знает теорему Пифагора,
то он не знает геометрию.
Разделительно-категорический силлогизм. Это умоза-
ключение из двух или более посылок, в которых, по крайней
мере, одна — разделительное суждение. Основными форма-
ми являются:
342
А
А
или
не-А
В
либо
А
не-В
В
В
— модус tollendo ponens (отрицаю-
ще-утверждающий). Дизъюнкция здесь
может быть как слабой, так и сильной.
— модус ponendo tollens (утвержда-
юще-отрицающий), где «либо» — силь-
ная дизъюнкция.
Понятно, что дизъюнкция (разделительная) посылка мо-
жет содержать и более двух членов. Однако формы выводов
с такими посылками можно сводить к указанным, если
учесть, что дизъюнкция ассоциативна и коммутативна (см.
§11), то есть в дизъюнктивном высказывании с более чем
двумя членами возможна любая расстановка скобок, а сами
члены дизъюнкции можно переставлять в любом порядке,
получая при этом высказывания, равносильные исходному.
Например, умозаключение вида:
сводится к виду
то есть к виду:
А или В
не-А
В
А или В, или
не-В
В
А или С
или (А или
не-В
А или С
— модус
С
Q
tollenc
Вообще, все формы выводов этого вида могут быть сведе-
ны к двум общим правилам:
343
1. Если из всех возможностей, на которые указывает раз-
делительное высказывание, какие-то не имеют места, то
имеют место все остальные — обобщение модуса tollendo
ponens.
2. Если из исключающих друг друга возможностей, на ко-
торые указывает разделительное суждение со строгой дизъ-
юнкцией, какая-то имеет место, то не имеют места осталь-
ные — ponendo tollens.
• Пример
Суждение «Риск — благородное дело» (которое, очевидно,
является простым) является единичным, или общим, или
частным. Но оно не является единичным. Следовательно,
это суждение общее или частное.
Вместо употребленной здесь посылки со слабой дизъюн-
кцией можно было бы, очевидно, взять и со строгой, силь-
ной дизъюнкцией, поскольку в действительности члены дан-
ной посылки исключают друг друга. Тогда правильным был
бы следующий вывод:
Суждение «Риск — благородное дело» является
либо единичным, либо частным, либо общим.
Это суждение — частное (если иметь
в виду его истинность).
Следовательно, данное суждение не является единичным,
и не является общим.
Ко всему сказанному надо добавить, во-первых, что пере-
численные формы умозаключений — это, по существу, пра-
вила довольно простых умозаключений. Однако умозаключе-
ния, как мы уже говорили, могут быть и сложными, пред-
ставляющими собой последовательности нескольких про-
стых умозаключений, каждое из которых осуществляется по
одному правилу. Обратимся, например, к примеру чисто ус-
ловного силлогизма о студенте, который не занимается сис-
тематически. Проницательный читатель мог заметить, что за-
ключение о нем может быть ложным, если имеется в виду, к
344
примеру, студент с выдающимися способностями (который
может иметь прочные знания, даже не занимаясь системати-
чески). В чем же, спрашивается, состоит причина того, что в
правильном умозаключении заключение оказывается лож-
ным? Для выяснения ее можем построить следующий вывод:
Известно, как мы уже подчеркивали, что если дедуктив-
ное умозаключение правильно и посылки его истинны, то
заключение его тоже истинно. В рассмотренном умозаклю-
чении заключение неистинно, значит неверно, что оно пра-
вильно и посылки его истинны (по модусу tollens условно-ка-
тегорического силлогизма: если А и В, то С, не-С. Следова-
тельно, не-(Л и В)). Но это означает, что это умозаключение
неправильно или какая-то из его посылок неистинна (по пра-
вилу отрицания конъюнкции). Однако умозаключение пра-
вильно. Следовательно, какая-то из посылок этого умозаклю-
чения неистинна1 (модус tollendo ponens разделительно-кате-
горического силлогизма: не-А или не-5; А, следовательно,
не-В). Заметим, что ради упрощения мы пропустили здесь
еще одно звено, а именно: от высказывания «умозаключение
правильно» к «значит, неверно, что оно неправильно» (сня-
тие двойного отрицания).
Из этого примера видно уже, что перечисленных в дан-
ном параграфе правил недостаточно для того, чтобы в любом
случае осуществить вывод из некоторого множества посы-
лок Av ..., Ап высказывания В при наличии логического сле-
дования Av ..., Ап 1= В. Полную систему правил, позволяю-
щую построить вывод, соответствующий любому отноше-
нию логического следования в языке логики высказываний
(ЯЛВ), указывают рассмотренные выше натуральные систе-
мы исчисления высказываний (см. § 10). А логика высказы-
ваний вообще, как и логика предикатов, дает нам также кри-
терии и способы проверки правильности умозаключений из
сложных высказываний.
Поскольку задача наша здесь состояла в том, чтобы выде-
лить наиболее типичные, практически важные формы умо-
заключений, следует добавить к перечисленным две формы
выводов — правила так называемых косвенных рассужде-
1
Очевидно, таковой является первая — «Если студент занимается не
систематически, то он не имеет прочных знаний».
345
ний, — которые не были замечены как специальные правила
вывода в традиционной логике и получили точные формули-
ровки в рамках символической логики (как правила выводов
в логике высказываний — см. § 10). Этими формами нередко
пользуются в процессах аргументации (см. § 47), в частности,
как средствами доказательств и опровержений. Не случайно
сами их названия связаны именно с процессами этого рода.
Одна из них — доказательство «от противно-
го», другая — опровержение «путем сведе-
ния, к абсурду». Сразу следует заметить, что эти фор-
мы вывода, вероятно, известны читателю из школьных кур-
сов математики и геометрии. Однако обычно при употребле-
нии этих способов рассуждения не выявляют структуру этих
выводов, в силу чего они не рассматриваются как особые
правила рассуждения. Это сделано лишь в рамках логики
высказываний.
Рассуждение по первой из этих форм — «от противно-
го» — имеет рассмотренную ниже структуру.
Дано некоторое множество посылок — высказываний —
Г и подлежащее доказательству некоторое высказывание Л.
Рассуждая «от противного», предполагаем, что Л неверно
(не-Л). Задача теперь состоит в том, чтобы прийти к проти-
воречию, а именно: попытаться из множества высказываний
Г и не-Л вывести некоторое высказывание В и из тех же са-
мых посылок Г и не-Л — также не-В. Наличие двух таких
выводов позволяет заключить, что если все высказывания,
содержащиеся в Г, истинны, то истинно и Л («что и требова-
лось доказать», — как обычно говорят использующие этот
метод). В логике высказываний это правило умозаключения
представляется в виде:
В качестве примера такого рассуждения можно взять из-
вестное доказательство теоремы в эвклидовой геометрии:
«Из точки на плоскости можно опустить лишь один перпен-
дикуляр на прямую, лежащую на этой же плоскости» (это
наше «Л»). Рассуждая «от противного», предположим, что
данное утверждение неверно, то есть не-Л (-.Л). Теперь из Г,
представляющего в данном случае множество аксиом эвкли-
346
довой геометрии, и не-А выводят, что существует треуголь-
ник с суммой внутренних углов больше 180° (наше не-В), то
есть осуществляют вывод Г, -. А (= -у В. С другой стороны, из-
вестно, что из одних только аксиом геометрии выводима
теорема о равенстве внутренних углов треугольника именно
180° (наше В, то есть имеет место вывод Г \= В). На основа-
нии полученного противоречия (В и -. В) заключают об ис-
тинности А. Однако при этом не учитывается, что второй
член противоречия — высказывание В — выводимо не толь-
ко из Г, но и из Г и не-Л (Г, -,А \= В), согласно логическому
принципу: если что-то выводимо из некоторого множества
высказываний, то оно выводимо и из любого расширения
этого множества. Применение этого принципа в данном
случае дает выводимость Г, -. A t= В, фигурирующую в соста-
ве правила. Имея обе нужные выводимости Г, -УА\= В и
Г, -1А \= -. В, заключаем, что А выводимо из Г (Г N Л).
Правило рассуждения путем «сведения к абсурду» имеет
вид:
Выводимость, стоящая под чертой, дает право считать
ложным суждение А при истинности всех высказываний Г.
Таким образом, два известных способа рассуждения
структурируются здесь в два точно формулируемые правила
рассуждения; одно из них дает возможность доказательства
А, другое — опровержения А, то есть доказательства не-А.
Строгое проведение рассуждений этих видов предполага-
ет, что точным образом выделяется множество истинных вы-
сказываний (посылок) Г, что в практике рассуждений этого
типа отнюдь не всегда делается. Без этого доказательство
или опровержение не является строгим и не гарантирует ис-
тинность заключительного высказывания А или не-А, по-
скольку какие-то невыявленные явно посылки могут ока-
заться ложными.
• Упражнения
1. Используя описанные в данном параграфе формы вы-
водов, решите вопрос, являются ли правильными следующие
умозаключения; если — да, то покажите, как оправдать их;
если — нет, объясните, почему?
347
а) Если число рационально, то оно вещественно. Если
число натурально, то оно рационально. Значит, если число
является натуральным, то оно вещественно.
б) Если прямая касается окружности, то радиус, прове-
денный в точку касания, перпендикулярен к ней. Таким об-
разом, радиус окружности не перпендикулярен к этой пря-
мой, поскольку она не касается окружности.
в) Потерпевшим признается лицо, которому преступлени-
ем нанесен моральный, физический или имущественный
вред. Ни моральный, ни физический вред потерпевшему не
нанесен. Следовательно, ему нанесен имущественный вред.
г) Если человек является последовательным материалис-
том, то он признает познаваемость мира. Если человек при-
знает познаваемость мира, то он не является агностиком.
Следовательно, если человек не является последовательным
материалистом, то он — агностик.
д) Если человек говорит неправду, то он заблуждается
или сознательно вводит в заблуждение других. Этот человек
говорит неправду, но явно не заблуждается (в этом вопросе).
Следовательно, он сознательно вводит в заблуждение других.
е) Если в мире есть справедливость, то злые люди не мо-
гут быть счастливы. Если мир есть создание злого гения, то
злые люди могут быть счастливы. Значит, если в мире есть
справедливость, то мир не может быть созданием злого ге-
ния.
ж) Если б он был умен, то он увидел бы свою ошибку.
А если б он был искренен, то признался бы в ней. Однако
прошлое его поведение показывает, что он или не умен, или
неискренен, а может быть и то, и другое. Таким образом,
следует ожидать, что он или не увидит ошибку, или не при-
знается в ней.
з) Практика показывает, что если отпечатки пальцев, об-
наруженные на месте преступления, не состоят на дактилос-
копическом учете, то это существенно затрудняет оператив-
ное расследование преступлений, совершенных особо опас-
ными рецидивистами. В таком случае требуется дополни-
тельное привлечение сотрудников оперативно-розыскного
аппарата. Однако в данном случае, думаю, что этого не пот-
ребуется, ведь полученные отпечатки пальцев имеются в на-
шей дактилоскопической картотеке.
2. Сделайте вывод по правилу контрапозиции из сужде-
ний:
348
а) Если слово ставится в начале предложения, то его по-
ложено писать с большой буквы.
б) Если слово изменяется по падежам и по числам, то оно
является существительным.
в) Дело подлежит передаче в вышестоящий суд, если на
приговор подана жалоба или принесен протест.
г) Число 253 не оканчивается на 0 или на 5, значит оно не
делится на 5.

| распечатать

Другие новости по теме:

Другие новости по теме: