Понятие необходимого и достаточного условия

Время: 25-02-2013, 11:58 Просмотров: 2341 Автор: antonin
    
Понятие необходимого и достаточного условия
Условная связь «если..., то...» будучи средством выраже-
ния законов науки, полезна также для выяснения важных с
точки зрения логической культуры понятий необходимого и
достаточного условия чего-либо.
Мы говорим, что обстоятельство А (признак, событие, яв-
ление и т. п.) является достаточным условием об-
стоятельства В, если и только если Л и В связны между со-
бой таким образом, что в каждом случае, когда имеется А,
имеется и В, то есть для каждого случая истинно высказыва-
ние «Если Л, то В».
Обстоятельство А является необходимым усло-
вием обстоятельства В, если и только если А и В связаны
между собой таким образом, что в каждом случае при отсут-
ствии А, отсутствует В, то есть в каждом случае истинно вы-
зоз
сказывание «Если неверно Л, то неверно В» (это высказыва-
ние эквивалентно высказыванию «Если В, то А»).
Из сказанного видно, что если А — необходимое условие
В, то В — достаточное условие А, и наоборот. А из приведен-
ного выше примера видно, что делимость суммы цифр числа
на 3 есть достаточное условие делимости на 3 самого числа.
Естественно в этом случае, как и во всех подобных, ставить
вопрос, является ли оно необходимым? Известно из арифме-
тики, что это действительно так.
С понятиями необходимых и достаточных условий в ма-
тематике связаны понятия прямой и обратной
теорем. Формулируя теорему вида «Если А, то В», уста-
навливают достаточность условия А для В. Установление же
того, что имеет место и обратная теорема «Если В, то А»
означает указание того, что А является и необходимым усло-
вием для В (поскольку «Если В, то А» равносильно «Если не-
А, то не-В»). Имея теорему вида «Для всякого объекта неко-
торого класса (геометрических фигур, чисел и т. п.) верно,
что если он обладает свойством А, то он обладает свойством
В», ставят обычно вопрос, а верно ли обратное — «Если В, то
А»? Если так, то мы имеем также и обратную теорему по от-
ношению к первой. Подобные рассуждения относятся не
только к математике. Теорема математики — это некоторый
закон математики, аналогичные вопросы возникают по отно-
шению к законам любой науки. Будучи выраженным либо в
форме «Всякое S суть Р» (всякий предмет некоторого класса
М, обладающий свойством S, обладает свойством Р) или в
виде «Для всякого предмета класса М верно, что если он об-
ладает свойством S, то он обладает свойством Р», он — при
условии правильной формулировки закона — содержит ука-
зание достаточного условия 5 для существования Р. И, ко-
нечно, не лишен при этом познавательного значения вопрос:
не верно ли и обратное? Естественно, само S может быть
сложным свойством, хотя бы в том смысле, что оно является
объединением множества свойств, и достаточным условием
Р является именно совокупность свойств. Вспомним, напри-
мер, закон классической механики: «Всякое тело (М), на ко-
торое не действует никакая сила или равнодействующая
всех сил равна нулю (5), находится в покое или движется
равномерно и прямолинейно (Р)». Но полезно, конечно,
знать, что верно обратное: «Всякое тело, которое находится
в покое или движется равномерно и прямолинейно, есть
304
тело, на которое не действует никакая сила или равнодей-
ствующая всех сил равна нулю». Таким образом, признак,
состоящий в том, что на тело не действует никакая сила или
равнодействующая всех сил равна нулю (S(x)), является до-
статочным и необходимым для признака «тело покоится или
движется равномерно и прямолинейно» [Р{х)).
Ш Упражнения
1. Выясните, является ли достаточным и необходимым ус-
ловием для указанного выше признака Р признак: «На тело
не действуют никакие силы» (5J? (Точнее Р{х) и S^x), пос-
кольку знаковыми формами признаков, как помнит чита-
тель, являются предикаты).
2. Аналогичную задачу решите для признака «равнодей-
ствующая всех сил, действующих на тело, равна нулю»
(ЗД).
Заметим, что вообще для любых двух признаков S(x) и
Р{х) (относящихся к некоторому классу предметов М — об-
ласти значений переменной х) справедлива классификация:
1) Один из них является достаточным и необходимым ус-
ловием для другого или
2) достаточным, но не необходимым, или
3) недостаточным, но необходимым, или, наконец,
4) недостаточным и не необходимым.
Выше уже приведены примеры признаков достаточных и
необходимых; читатель, только что выполнивший упражне-
ние, наверное установил, каковы отношения между S^x) и
Р(х), а также между S2(x) и Р(х). Для некоторых подскажем,
что S{{x), как и S2{x), достаточен для Р{х), но не необходим.
Аналогично, незаконное хранение оружия достаточно для
привлечения к уголовной ответственности, но, конечно, не
является необходимым для этого. Но гласность, являясь не-
обходимым условием демократии, не является в то же время
достаточным, как и, например, повышение производитель-
ности труда для повышения уровня благосостояния обще-
ства. Между тем рост человека, его возраст и, конечно, пол
не являются ни достаточными и ни необходимыми условия-
ми для усвоения логики.
305
И, наконец, вспомним определение основного содержа-
ния понятий. Его составляет совокупность признаков, каж-
дый из которых необходим, а все вместе они достаточны для
решения вопроса о том, относится ли какой-нибудь предмет
к объему понятия, то есть к классу обобщаемых предметов.
Знание самих понятий, необходимых и достаточных усло-
вий может быть весьма полезным для образования тех или
иных понятий, для выяснения смыслов имен. При этом оно
может избавить человека от хаотического и излишнего пере-
числения признаков предметов, способствовать минимиза-
ции тех данных, которые характеризуют тот или иной пред-
мет или предметы некоторого вида. Именно требование ука-
занной минимизации подразумевается обычно в обращении
учителя к ученику или вообще к тому или иному человеку:
«Выделяйте существенное», «Не нужно второстепенного, не
идущего к делу» и т. п. Требования такого рода часто означа-
ют: укажите достаточные и необходимые признаки предме-
тов данного класса.
• Упражнения
1. К какому виду — с точки зрения необходимости и
с точки зрения достаточности — принадлежат следующие
условия:
а) делимость числа на 2 и на 3 для делимости его на 6;
б) активное участие общественности в борьбе с преступ-
ностью для ликвидации преступности;
в) мутации для естественного отбора;
г) круглая тень Земли на поверхность Луны для призна-
ния истинности утверждения о шарообразности Земли;
д) нагревание металлического стержня для его расшире-
ния;
е) наличие тренировок для установления рекордов;
ж) наличие дыма для огня;
з) знание предмета для получения отличной оценки по
нему на экзамене;
и) истинность одного члена дизъюнкции для истинности
всей дизъюнкции;
к) истинность обоих членов дизъюнкции для истинности
всей дизъюнкции;
306
л) ложность антецедента для истинности импликации;
м) ложность обоих членов дизъюнкции для ложности
всей дизъюнкции;
н) ложность консеквента для истинности импликации.
2. Пользуясь определениями необходимого и достаточно-
го условий, сформулируйте соответствующие суждения с
употреблением связки «если..., то...» (« z> »):
а) А есть необходимое условие для В;
б) В есть необходимое условие для А;
в) А есть необходимое, но не достаточное условие для J5;
г) В есть достаточное, но не необходимое условие для А;
д) А не достаточное и не необходимое условие для В;
е) неверно, что А достаточное и необходимое условие для
В;
ж) неверно, что А не достаточное условие для В или В не
необходимое условие для А.
3. Какие суждения относительно достаточности или необ-
ходимости условий можно сформулировать исходя из истин-
ности высказываний вида:
а) р=>д;
б) -, р z> -, д ;
в) -, р з д;
г) -.дзр;
д) (р л г) => s;
е) ^siD(pvg).

| распечатать

Другие новости по теме:

Другие новости по теме: