Закон обратного отношения между объемами и содержаниями понятий. Логические и фактические объемы и содержания понятий

Время: 25-02-2013, 11:50 Просмотров: 1681 Автор: antonin
    
Закон обратного отношения между объемами
и содержаниями понятий. Логические и фактические
объемы и содержания понятий
Мы видели, что наряду с определением содержания поня-
тия как совокупности признаков, возможна характеристика
его как некоторого предиката. Поскольку предикат представ-
ляет собой высказывательную форму, он выражает некото-
рую информацию о предметах, мыслимых в понятии. В силу
этого представление содержания как предиката позволяет
истолковать его как характеристику информативности поня-
тия. Различение понятий по информативности существенно
для выяснения многих аспектов при анализе этой формы
мышления. Оно приводит, в частности, к устранению многих
недоразумений, которые возникали в прошлом, в частности,
в связи с известным в логике законом обратного отношения
между объемами и содержаниями понятий. В распростра-
ненной формулировке он гласит: объем и содержание поня-
тия находятся в обратном отношении: чем шире объем, тем
уже содержание понятия, и наоборот. Более точно, имеется
в виду отношение между объемами и содержаниями двух
понятий хА(х) и хВ(х) с одним и тем же родом (область зна-
чений х — D). Согласно закону, если объем одного из этих
понятий шире объема другого, то содержания их находятся
в обратном отношении.
Может быть принята и более общая формулировка:
• Если объем одного понятия составляет часть объема другого
(с тем же родом), то содержание второго составляет часть со-
держания первого.
Кроме того, поскольку понятия имеют один и тот же род,
отношение «часть — целое» между содержаниями понятий
сводится к отношению между видовыми отличиями этих по-
нятий, то есть между предикатами А{х) и В(х).
194
Таким образом приходим к формулировке:
• Объем одного понятия составляет часть другого (с тем же ро-
дом), если и только если содержание второго составляет часть
содержания первого.
Однако, если для объемов понятий мы уже имеем опреде-
ление отношения «объем одного понятия составляет часть
объема другого» (см. § 16), то аналогичное отношение для со-
держаний понятий определить не так просто. Первое, что
напрашивается, это — сравнение содержаний понятий по
количеству признаков. В таком случае для понятий «число,
которое делится на 2 и на 3» и «число, которое делится на 3»
вопрос решается просто: содержание первого шире, по-
скольку больше количество составляющих его признаков.
Однако сразу возникает неясность, когда мы рассматриваем
понятия «число, которое делится на 2 или на 3» и «число, ко-
торое делится на 3». Кажется, что количество признаков в
первом также больше, чем во втором, но объем первого так-
же шире, чем объем второго. В таких понятиях как «студент,
сдавший все экзамены сессии на отлично» и «студент, сдав-
ший какие-нибудь экзамены сессии на отлично» количество
признаков представляется даже одинаковым. Однако они
явно различаются по своей информативности. «Сдал все эк-
замены» безусловно более информативно, чем «сдал некото-
рые экзамены», и ясно, что объем первого понятия уже, чем
объем второго. Ясно также, что «делится на 3» содержит
больше информации, чем «делится на 2 или на 3». Кстати,
«делится на 2 или на 3» — это один признак, он является об-
щим для чисел, обобщаемых в приведенном выше понятии
(сравни «слово, обозначающее действие или состояние» сре-
ди приведенных выше упражнений).
В истории логики известен так называемый парадокс
Больцано, по видимости, опровергающий закон обратного
отношения. Формулируются два понятия: «Человек, знаю-
щий европейские языки» (имеются в виду, конечно, все ев-
ропейские языки) и «Человек, знающий живые европейские
языки». Видимость такова, что содержание второго понятия
шире, поскольку к характеристике языков добавляется при-
знак «живые», то есть действующие в настоящее время. Но
и объем этого понятия также шире, чем объем первого.
195
Ясно, что всякий, знающий все европейские языки, знает,
конечно, и все живые европейские языки, но не наоборот.
Отношения между объемами этих понятий может быть пред-
ставлено схемой:
А — человек, знающий все живые
европейские языки
В — человек, знающий все европей-
ские языки
Из этой схемы очевидно, что людей, знающих все живые
европейские языки, больше, чем людей, знающих все эти
языки.
Для сравнения признаков по информативности может
быть использовано понятие «логическое следование». Если
из высказывания или высказывательной формы А логически
следует В, то есть А\= В, но обратное неверно, тогда А более
информативно, чем В. A t= В само по себе указывает на то,
что информация В составляет часть информации Л. Обозна-
чим объемы понятий хА(х) и хВ[х) соответственно WxA{x) и
WxB[x) («WxA{x)>> читается: множество предметов х, облада-
ющих свойством А[х)). Тогда закон обратного отношения для
двух понятий принимает вид: WxA(x) с WxB(x) если и только
если А[х) \=В{х).
Ясно, что приведенные выше «парадоксальные случаи»
легко разрешаются. Содержание (информация предиката)
«д: делится на 2 или на 3» составляет часть информации
предиката «# делится на 2», поскольку имеет место следова-
ние А{х) t= A(x) v В(х), вообще, из А следует AvB. Предикат
«х, сдавший все экзамены» информативнее, чем «л:, сдавший
какие-нибудь экзамены». Логическая форма первого —
\/у R{x, у), второго — Зу R{x, у). Второе есть следствие пер-
вого (вообще \/у А{у) \= Зу А{у)). Предикат, составляющий
содержание (видовое отличие) первого понятия в формули-
ровке парадокса Больцано имеет форму \/у R(x, у) (где об-
ласть значений х — люди, у — европейские языки).
Видовое отличие второго понятия выражает предикат
«Для всякого европейского языка, если он является живым,
196
то х знает его» — \/у (Р{у) ZDR{X, у)). Нетрудно убедиться —
и предлагаем это читателю, — что из первого логически сле-
дует второе: МуЩх, у) 1= У у {P{y)^R{x, у)).
Однако приведенных уточнений все-таки оказывается не-
достаточно. Возьмем, например, пары понятий «квадрат» и
«квадрат с взаимно перпендикулярными диагоналями», или
«число, делящееся на 2 и на 3» и «число, делящееся на 2, на
3 и на 6». Согласно понятию логического следования и вве-
денному определению отношения «часть» для содержаний
между понятиями, содержание второго понятия в каждой из
этих пар шире, чем содержание первого, однако объемы
первого и второго в каждой паре совпадают. Для разреше-
ния трудностей этого рода необходимы определенные уточ-
нения понятий «содержание понятия», «объем понятия», а
вместе с тем и формулировки самого закона. Необходимо
различать логическое и фактическое содержание понятия и
аналогично логический и фактический объемы понятий.
Логическое содержание, которое до сих пор, по
существу, имелось в виду, — это имеющаяся в понятии ин-
формация относительно обобщаемых в нем предметов, зави-
сящая лишь от логической формы понятия. Фактиче-
ское содержание — это информация, которую мы
имеем в понятии с учетом значений, имеющихся в его фор-
мулировке дескриптивных терминов (знаков предметов,
свойств, отношений). «С учетом значений... дескриптивных
терминов» означает «с учетом некоторой совокупности зна-
ний относительно предметов, свойств, отношений — значе-
ний этих терминов» в составе некоторой теории, в которой
используется данное понятие.
Утверждение «фактическое содержание понятия хВ{х) от-
носительно совокупности знаний Г составляет часть факти-
ческого содержания понятия хА(х) относительно той же со-
вокупности знаний» определяется как Г, А(х) N В(х).
Ясно, что если логическое содержание В — одного поня-
тия, составляет часть логического содержания А — другого
понятия, то это же отношение существует и между их фак-
тическими содержаниями, ибо если А 1= В, то согласно зако-
нам классической логики Г, А \= В для любого Г. Очевидно те-
перь, что фактические содержания А и В упомянутых выше
понятий «квадрат» и «квадрат с взаимно перпендикулярны-
ми сторонами» совпадают. Имеем Г, А 1= В и Г, В 1= А, где Г —
197
множество из одного высказывания — теоремы геометрии:
«Во всяком квадрате диагонали взаимно перпендикулярны».
Аналогичным образом устанавливаем совпадение фактичес-
ких содержаний понятий «число, делящееся на 2 и на 3» и
«число, делящееся на 2, на 3 и на 6», используя в качестве Г
множество из 3 (истинных) утверждений арифметики: «Если
некоторое число а делится на b и с, которые не имеют обще-
го делителя, отличного от единицы, то оно делится и на их
произведение», «2 и 3 не имеют общего делителя, отличного
от единицы», «Шесть есть произведение двух и трех».
Логический объем понятия хА(х) составляет
множество возможных предметов х, выполняющих предикат
А без учета значений имеющихся в нем дескриптивных тер-
минов, то есть рассматриваемый лишь со стороны его логи-
ческой формы. Фактический объем того же поня-
тия — это множество фактически существующих предметов,
удовлетворяющих условию А с учетом значений его де-
скриптивных терминов.
Как уже упоминалось, объемы рассмотренных пар поня-
тий, а также следующих — «квадрат» и «квадрат с взаимно
перпендикулярными диагоналями», «число, делящееся на 2 и
на 3» и «число, делящееся на 2, на 3 и на б» равны. Теперь
уточним: равны именно фактические их объемы. Что касает-
ся логических объемов, то для понятий каждой пары они
различны. Именно: объем второго понятия в каждой паре
уже, чем объем первого.
Действительно, если логическую форму первого понятия
в первой паре, например, представить как хР(х), а второго —
х[Р(х) & 0{х)), то логические объемы их соответственно пред-
ставляют множество WxP(x) и Wx(P(x) & О(х)), второе множе-
ство уже, поскольку оно равно WxP{x) n WxQ[x).
Как видим из анализа последнего примера, сравнение ло-
гических объемов, как, впрочем, и фактических, можно осу-
ществлять, подвергнув их предварительно разложению на
некоторые составляющие.
Формулировка закона обратного отношения должна быть
уточнена теперь с учетом проведенных различений факти-
ческих и логических содержаний и объемов понятий. Ясно,
что если мы сравниваем фактические объемы (или содержа-
ния) двух понятий, то соответственно должны рассматри-
ваться отношения между фактическими содержаниями (или
198
объемами). Отношению между логическими объемами (или
содержаниями) соответствует отношение между логически-
ми же содержаниями (объемами). Приведенные выше при-
меры казались опровергающими закон обратного отношения
потому, что рассматривая отношения между объемами, мы
брали фактические объемы, а содержания при этом имели в
виду логические!
По существу, мы имеем теперь два закона обратного от-
ношения: с одной стороны, для фактических содержаний и
объемов, с другой — для логических. Приведенная выше
формулировка относится именно к этому последнему зако-
ну. В качестве обобщающей их формулировки может быть
принята следующая (закон обратного отношения):
WxA{x) с WxB{x) = А{х) (= В(дг),
г г
где Г указывает на то, что сравнение объемов и содержаний
осуществляется с учетом совокупности знаний Г. «А{х) N В{х)»
есть то же, что и «Г, А[х) t= B(x)». Однако допускается, что Г
может быть пустым множеством (при непустом Г имеем
фактические относительно этого Г объемы и содержания,
при пустом — логические).
Этот закон играет важную роль во многих процессах по-
знания. По существу, он является основой семантической
теории информации. Само понятие семантической
информации, например, информации того или иного вы-
сказывания А, определяют обычно как меру или показатель
того, насколько принятие этого высказывания за истину огра-
ничивает некоторое множество исходных возможностей М.
Информативность А тем больше, чем сильнее это ограниче-
ние. Если мы, например, говорим, что данное вещество хими-
чески сложно, то ограничиваем множество химических ве-
ществ до химически сложных; утверждение же о том, что это
вещество является химически сложным и состоит из кисло-
рода и водорода, делает круг возможностей, к которому отно-
сится рассматриваемое вещество, еще более узким и, значит,
является более информативным.
Наше утверждение относится, вообще говоря, не к дей-
ствительности в целом, например, не к миру вообще, а к не-
которым его состояниям в те или иные моменты или проме-
199
жутки времени, или, как говорят в логике, к возможным ми-
рам, которые представляют так называемые «описания со-
стояний». На этом основан широко применяемый в логике и
теории информации способ оценки информативности логи-
ческих форм высказываний.
Информация при этом определяется относительно мно-
жества «возможных миров М». Логическая форма А некото-
рого высказывания Ло тем более информативна, чем уже
множество МА — «возможных миров», в которых истинно А.
В понятии множество исходных возможностей — это его
род. Объем понятия — результат его ограничения за счет до-
бавления видового отличия. Степень этого ограничения и
есть показатель информативности предиката, выражающего
это видовое отличие.
Закон обратного отношения играет важную роль в извес-
тных операциях обобщения и ограничения понятий и в ана-
лизе отношений между понятиями.
• Упражнения
1. В каком отношении находятся содержания (фактиче-
ские и логические) следующих пар понятий и каково отно-
шение между их объемами:
а) плоский замкнутый четырехугольник с равными про-
тивоположными сторонами (параллелограмм) и плоский за-
мкнутый четырехугольник с равными сторонами (ромб) ?
б) число, делящееся на 6, и число, делящееся на 6 и на 3?
2. Известно, что всякая фигура, у которой противополож-
ные стороны параллельны, есть фигура, у которой противо-
положные стороны равны. Что можно заключить из данной
характеристики отношений между фактическими объемами
понятий об отношении их содержаний?

| распечатать

Другие новости по теме:

Другие новости по теме: