ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ ИСТИННОСТНЫХ ТАБЛИЦ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИСТИННОСТНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ФОРМУЛ

Время: 25-02-2013, 11:37 Просмотров: 1293 Автор: antonin
    
ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ ИСТИННОСТНЫХ ТАБЛИЦ
ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИСТИННОСТНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ФОРМУЛ
Прежде всего при построении истинностных таблиц надо
определить число возможных распределений значений для
данного перечня переменных, то есть число строк в таблице.
Естественно, оно зависит от числа переменных. При п пере-
менных имеем 2П строк. Для нашего случая п равно 3, значит
количество строк в таблице — 8 (23) = 2x2x2 = 8. Полезно
также принять и определенный принцип перебора возмож-
ных распределений истинностных значений переменных.
Например, как это сделано в приведенной таблице, для по-
следней переменной во взятом перечне (в нашем случае — г)
чередование значений И и Л в соответствующем ей столбце
идет через одну строку, для предпоследней — через 2 стро-
ки, далее — через 4, 8 и т. д. строк.
Это словарно-лексический способ построения входной
части таблицы. Суть его в том, что при понимании последо-
103
вательностей истинностных значений в строках как слов
(в нашем случае И И И, И И Л и т. д.) в двухбуквенном алфа-
вите И и Л, они (эти слова) оказываются расположенными
по алфавиту (так как они должны бы быть расположенными
в словаре).
Для решения интересующего нас вопроса, следует ли за-
ключение из посылок, надо в соответствии с определением
логического следования установить, имеются ли такие строки
(распределения значений), в которых все посылки истинны, а
заключение ложно. При отсутствии таковых ответ положите-
лен. При наличии указанных строк отношения логического
следования нет (а значит, и рассуждение неправильно).
Учитывая упомянутую ранее связь между отношением
логического следования Г *= В, когда Г есть конечное множе-
ство формул Ах, А2, .... Ат (m^l, и законом логики
(Агз (А2з ...з (АтзВ)) ...) можно решить очевидно тот же
вопрос о наличии следования, составив указанную имплика-
цию. В нашем примере — ((-.р v q) зг) о (-^гз -,q) и устано-
вить, является ли она тождественно истинной формулой,
то есть истинной во всех строках таблицы. Вместо указан-
ной импликации всегда можно взять равносильную ей
((At& А2& ... & Ат) з В) (в последнем случае мы опускаем
скобки в записи (At&A2&... &Ат), которые могут быть рас-
ставлены любым образом с учетом того, что & является би-
нарной связкой). В нашем случае это (((-ipvg)&-1r)D-ig).
Таким образом, другой тип задач, который решается по-
средством таблиц, — это выяснение того, является ли неко-
торая формула законом логики, то есть тожественная истин-
ной; выяснение того, какие она принимает значения в зави-
симости от своих составляющих, что означает выяснение ус-
ловий истинности и ложности некоторого данного высказы-
вания в зависимости от распределения истинностных значе-
ний пропозициональных переменных в его логической фор-
ме. Возможно также решение задач о совместимости или не-
совместимости каких-то высказываний, их равносильности
или неравносильности, которые будут рассмотрены в связи с
классификацией видов отношений между высказываниями
(см. гл. VIII, § 34). Здесь приведем решение вопроса о том,
является ли та или иная формула законом логики высказы-
ваний. Возьмем, например, (р & q) з -i {-> p v -. q). Является ли
формула истинной при всех распределениях значений имею-
щихся в ней переменных? Следующая таблица (которую мы
104
строим без указанных в предыдущем примере упрощений)
показывает, что указанная формула действительно является
законом логики, поскольку истинна при любом распределе-
нии истинных значений ее пропозициональных перменных.
• Упражнения
1. Определите, следует ли высказывание вида (pj-, q) из:
(piD-,q), из г& -I q, из р v-i p.
2. Является ли высказывание вида р v g следствием посы-
лок ( -1 (р & q) з г) и -1 г; (-. р з -1 д) и -! р?
3. Установите, какие из перечисленных ниже формул яв-
ляются законами логики высказываний или их отрицаниями
Изложенные методы логического анализа являются мощ-
ным средством для решения многообразных задач логико-
гносеологического характера и применимы в весьма нетриви-
альных случаях практико-исследовательской деятельности.
Возьмем, например, хотя бы такие познавательные ситуации,
когда имеется значительное количество высказываний, из ко-
торых нужно извлекать следствия или решать вопросы о том,
являются ли некоторые утверждения следствиями из них.
Большое количество информации может быть получено при
социологических опросах, при расследовании преступлений,
при описании всякого рода автоматических устройств. В по-
следнем случае, например, если в автоматическом устройстве
105
имеется несколько взаимодействующих механизмов р, g, r, s,
d и т. д., возникают описания вида: 1) если сработал механизм
р и не сработал д, то сработал механизм г, 2) если не сработал
механизм г, то сработал р. В таких случаях наиболее суще-
ственными являются вопросы типа: что будет (то есть какие
механизмы сработают или нет), если не сработал один и сра-
ботал другой? и т. д. Это означает, что нужно вывести следст-
вия относительно взаимодействия других механизмов. Для
решения этой задачи мы не имеем пока средств. Их дает нам
аппарат логических исчислений и некоторые другие логиче-
ские разработки, в частности, раздел современной логики, на-
зываемый «алгеброй логики»1. Здесь же предложим читателю
решить, является ли следствием из двух указанных высказы-
ваний, а также из того, что не сработал механизм г, высказы-
вание о том, что сработал механизм д?
При решении этих и подобных задач можно воспользо-
ваться некоторыми упрощениями табличного способа анали-
за. Во-первых, возможно упрощение вычисления значений
сложных высказываний. Вместо того, чтобы особо выделять
составляющие части сложного высказывания, вычисляя их
значение отдельно, мы можем это сделать прямо в составе
данного высказывания. Рассмотрим, например, значение вы-
сказывания ((р v g) з (-1 д&г), не выписывая отдельно его
подформул р, g, (p v g), -i g, г, (-.д&г). Их значение вычисля-
ем в составе всей формулы, подписывая результаты под зна-
ками соответствующих связок. Для первой подформулы —
под знаком v, для второй — под знаком -i, для третьей —
под знаком &, как это сделано в следующем примере
Формальная логика. — Л.: Изд. ЛГУ, 1977.
106
Значение всей формулы указывается в столбце под зна-
ком =>, который является знаком последней операции в по-
строении всей формулы.
И, наконец, решать вопрос о том, следует ли какое-то вы-
сказывание из других или является ли какая-либо формула
законом логики высказываний, можно вообще не прибегая к
построению таблицы, — так называемым методом рассужде-
ния «от противного». Например, нам надо проверить, имеет-
ся ли отношение р => q, pt= q? Предполагаем, что последняя
формула (q) не является следствием из указанных посылок
(рэд) и р. Тогда можно найти такое распределение значе-
ний переменных, при котором все посылки истинны, а за-
ключение ложно. Пытаемся найти такое распределение.
Если это удается, следования нет. Если не удается, отноше-
ние следования имеет место.
И Л Л И Л
р ZD q, p t= q
В нашем случае, предполагая q ложным, мы должны, ко-
нечно, всем вхождениям q в посылках приписать это же зна-
чение. Далее у нас есть посылка р. Предполагаем, что она ис-
тинна, тогда видим, что первая посылка (рзд) оказывается
ложной (см. таблицу истинности для импликации). Следова-
тельно, осуществить задуманное распределение значений
(«все посылки истинны, заключение ложно») не удается,
значит q следует из данных посылок.
• Упражнения
1. Решите методом «от противного», являются ли закона-
ми логики:
2. При помощи метода «от противного» установите, имеет
ли место логическое следование:
а) р з -. q из q z> -> р;
107
6) g & s из множества следующих посылок: (рэд), (г з s),
B)-,pvs из (-1 gvr) & (rzss) & (рз g);
г) риз ((рзд)&д).
3. Работа некоторого автоматического устройства (имею-
щего механизмы р, д, г) удовлетворяет условиям: если не
срабатывают механизмы р или г или оба вместе, то срабаты-
вает д, если срабатывают р или д или оба вместе, то не сра-
батывает г. Можно ли отсюда заключить, что если срабаты-
вает механизм г, то срабатывает и р?
Наряду с отношением логического следования в логиче-
ских построениях большую роль играет отношение логи-
ческой эквивалентности — логической равно-
значности. Утверждение о наличие этого отношения между
высказываниями А и В обозначается в виде А = В. Оно озна-
чает просто двустороннее следование А \= В и В t= A.
Указанное отношение эквивалентности (знак « = ») — это отно-
шение метаязыка. Можно, и часто это делают, ввести аналог этого
отношения в сам язык, т. е. ввести в язык новую связку, называе-
мую эквиваленция, которую можно обозначить «~». Тогда расши-
ряется понятие формулы — появляются формулы вида [А~В). В
высказываниях этого вида мы выражаем, конечно, уже не отноше-
ние между высказываниями А и В, как в метаязыке, а отношение
или связь между самими ситуациями, которые представляют А и В.
Такого рода высказывания всегда можно выразить через & и з как
(А з В) & (В з А), то есть эквиваленция — это двусторонняя импли-
кация. Ясно, что формула А~В является тождественно-истинной,
то есть представляет логический закон нового вида, если тожде-
ственно-истинны А з В и В з А.
Наряду с логической эквивалентностью в науке нередко прихо-
дится иметь дело с фактическими эквивалентностя-
м и. Для выражения фактической эквивалентности двух высказы-
ваний А и В в метаязыке можно использовать то же выражение
А^В, но трактовать его как истинность двух импликаций Аз В и
В з А. Это значит, что А и В при каком-то данном их содержа-
нии имеют одинаковое истинностное значение: либо оба истинны,
либо оба ложны. В этом случае для этого отношения более подхо-
дящим термином является равнозначность. Например, рав-
нозначными — фактически эквивалентными являются высказыва-
ния арифметики «Число N делится на 6» и «Число N делится на 2
108
и на 3» или геометрии «Данный треугольник является прямоуголь-
ным» и «В данном треугольнике квадрат одной из сторон равен
сумме квадратов двух других сторон». Отношения между соответ-
ствующими ситуациями А и В можно выразить в языке, используя
тот же язык эквиваленции, в виде А ~ В. В естественном языке это
высказывание произносится как «Л, если и только если, В» или «А,
тогда и только тогда, когда В».
Выделение отношения логической эквивалентности в ка-
честве специального отношения между высказываниями оп-
равдывается хотя бы уже тем, что имеется специальная фор-
ма рассуждений — рассуждений посредством эквива-
лентных преобразований. В таких рассуждениях
мы, исходя из некоторых установленных эквивалентностей,
получаем новые эквивалентности, пользуясь формулируе-
мым ниже правилом замены эквивалентных
(правилом эквивалентной замены).
В числе исходных эквивалентностей логики высказыва-
ний полезно запомнить следующие:
1. Взаимовыразимость логических связок
1. ((A=>B)~{-,AvB)). 4. ((А&Я)~-.(Лэ-.Д)).
2. ((Л =>Ј)--, (А &-.Ј)). 5. ((Av5)~r,(-,A&iB)).
3. ((A&5)~nhAv-,B)). 6. ((АчВ)~(-,А=>В)).
И. Законы образования контрадикторной противополож-
ности
109
8. ((А з (В з Q) з (В з (A з С))) — Закон перестановки усло-
вий (антецедентов).
9. ((Аз (В з Q) з ((A & В) з Q) — Закон объединения усло-
вий (закон импортации).
10. (((A&B)DQD(AD(BD С))) — Закон разъединения усло-
вий (закон экспортации).
11. ((АзВ)з((А&дз(В&Р)).
12. ((A3B)z>((AvQ3(Bvq)).
IV. Свойства & и v
2. (UAvBlvQ-lAv^q)1)" Асс°Чиа™вность & и v •
^ ^S^D^ 1 Коммутативность & и v .
5. ((A & (B v Q) ~ ((A & B) v (A & Q)) — Дистрибутивность &
относительно v.
6. ((Av(B&Q)~((AvB)&(AvQ)) —Дистрибутивность v
относительно &.
7. ((A&(AvB))~A) 1 о
8. j(Av(A&B))~A) j Законы поглощения.
9. ((A&(Bv-!jB))~A) — Закон исключения истинного члена
из конъюнкции.
10. ((A v (В & -1 В)) ~ А) — Закон исключения ложного члена
из дизъюнкции.
11. (A v -I А) — Закон исключенного третьего.
12. -I (А & -1 А) — Закон противоречия.
Строго говоря, выделенные здесь выражения — это схе-
мы эквивалентностей, поскольку левые и правые части
этих эквивалентностей не формулы языка, а их схемы, за-
писанные в метаязыке. Каждая схема представляет беско-
нечное множество эквивалентностей для формул. Напри-
мер, частным случаем первой эквивалентности (1.1) являют-
ся: ((p&g)Dr)~-,(p&g)vr, (p=5g)~-^pvg, {pz>{pz>r)~
(-i p v (qz> r)) и т. д., и т. п.
Правило замены эквивалентных формулируется обычно
(см.: принцип взаимозаменяемости знаков — глава II, § 7) в
А = В
виде: с = С ' ГАе СА означает некоторую формулу, в кото-
110
рой возможно имеются вхождения А. Св — результат заме-
ны каких-либо из вхождений А формулой В. Конечно, СА мо-
жет совпадать с самим А — тогда Св есть В.
Практически более удобной для осуществления эквива-
лентных преобразований некоторой формулы является сле-
СА,А = В
дующая формулировка того же правила: г . На осно-
ве эквивалентности (р =э q) = (-1 р v q) (A = В) по только что ука-
занной формулировке правила замены эквивалентных, из
((р ID q) z> r)(CA) можем получить ((-i p v q) ID Г) (СВ). Далее, ис-
пользуя эквивалентность ((-i p v q) ID г) = ( -г (-i p v q) vг), пере-
ходим от предыдущего высказывания к последнему.
В первом применении правила замены роль А, очевидно,
играла р ID q, а. В — (-. р v q). Во втором применении А (оно же
СА) есть (-1 р v q) ID Г, а В (оно же Св) есть -> (-г р v q) v г. Оче-
видно, что обе эквивалентности, которые мы здесь использо-
вали, представляет одна и та же схема: (Л з В) s (-, Л v В).
В процессе осуществления эквивалентных преобразований
часто используют именно схемы без специального выделения
их частных случаев. Тогда некоторая данная схема преобра-
зований представляет бесконечное множество преобразова-
ний тех или иных формул указанных видов.
Следующая последовательность преобразований в четыре
шага представляет собой схему эквивалентных преобразова-
ний:
• Упражнение
Укажите, какие эквивалентности использованы на каждом
шаге преобразований в только что приведенном примере.
В заключение данного раздела надо заметить, что поня-
тие следования и связанное с ним понятие логического зако-
на в описанной системе — классической логики — страдают
определенными недостатками, которые называют парадокса-
ми. При этом имеется в виду некоторое несоответствие по-
нятия следования и законов вида t= (А з В), определенным
интуитивным представлениям об отношении логического
следования. По идее, наличие следования А \= В между
высказываниями А и В должно означать, что логическое со-
держание В (информация, которую выражает логическая
форме В) составляет часть логического содержания А. Одна-
ко для классического следования, если, например, В есть ло-
гический закон нашей системы (то есть имеем 1= В), то.како-
во бы не было А имеем А *= В, -i В t= А и оказываются логиче-
скими законами формулы вида N (А з В), t= (-. В з A).
В частности имеем (р & -. р) t= g и fc= (p & -i p) з g (на эти
случаи обращают особое внимание, подчеркивая, что в дан-
ной логической системе «из противоречия следует все, что
угодно». О таких парадоксальных случаях говорят, что меж-
ду А и В нет связи по содержанию, или иначе — «А не реле-
вантно В»,
Парадоксами «нерелевантности» («иррелевантности»)
страдает также и импликация данной системы — материаль-
ная импликация з. По идее эта связка должна быть более
или менее точным аналогом логического союза естественно-
го языка «если..., то ...». Так ее обычно и понимают, читая
формулу вида рзд как «Если р, то д». Однако в естествен-
ном языке предполагается, что связка «если..., то...», будучи
примененной к двум высказываниям, выражает некоторую
связь между ними по содержанию. Для материальной же им-
пликации формула рзд истинна, как мы видели, когда лож-
но р или истинно д, независимо от того, каково содержание
высказываний р и д. Истинными поэтому оказываются, на-
пример, высказывания «Если 2x2 = 4, то Земля вращается
вокруг своей оси», а также и «Если 2x2 = 5, то Земля не
вращается вокруг своей оси». Однако указанные парадоксы
следования и материальной импликации не исключают по-
лезных применений описанной логической системы. Тем бо-
лее если трактовать формулы вида А з В как -^ A v В в соот-
ветствии с имеющейся в системе эквивалентностью данных
выражений, иначе говоря не рассматривать « з » как аналог
союза «если..., то...». При такой трактовке « з » парадоксы
импликации вообще исчезают. Хотя исключение из языка
112
союза «если..., то...» значительно ограничивает возможности
его применения.
В настоящее время имеется уточнение классического по-
нятия следования и соответственно понятия импликации
« z>», в результате которых устраняются указанные парадок-
сальные случаи. На основании такого уточнения систем
классической логики выделена так называемая релевантная
система, а именно, система Е (of Entailment). Вместо класси-
ческого следования в них мы имеем релевантное, а матери-
альная импликация « z>» заменяется интенсиональной (или
сильной) «->•».
Разница между классическим и релевантным следовани-
ем может быть охарактеризована так: классическое А = В
(Г = В) указывает на связь между высказываниями А и В
(множеством высказываний Г и В) по их истинностным зна-
чениям. Точнее говоря, на невозможность ложности В при
истинности А (при истинности высказываний в Г). Релевант-
ное же следование между А и В (Г и В) означает, что логи-
ческое содержание заключения В составляет часть логичес-
кого содержания А (или совокупного логического содержа-
ния высказываний Г).
Для решения многих вопросов теории познания и мето-
дологии, связанных с применением логики, необходимо ис-
пользование релевантного следования и формализованного
языка с интенсиональной импликацией. Однако во всех слу-
чаях, когда нас интересует только правильность выводов, по-
нимаемая как наличие гарантии истинности заключений вы-
водов при истинности посылок, применима система класси-
ческой логики, то есть понятие классического следования и
материальной импликации.

| распечатать

Другие новости по теме:

Другие новости по теме: