ЗАКОНЫ ЛОГИКИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

Время: 25-02-2013, 11:36 Просмотров: 1097 Автор: antonin
    
ЗАКОНЫ ЛОГИКИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
• Законом логики высказываний называется формула, которая
при любых распределениях истинностных значений, входя-
щих в нее пропозициональных переменных (то есть для лю-
бых высказываний, которые могут быть получены из данной
формулы), принимает значение И — истинно.
Для метаутверждения «А есть логический закон» принято
обозначение f= А. Про формулу, представляющую собой за-
кон логики высказываний, говорят, что она всегда истинна
или, как в логике принято говорить, она тождественно ис-
тинна.
Примеры:
р v -I р — закон исключенного третьего;
-1 (р & -1 р) — закон противоречия;
(р & q) з p — закон исключения &;
р з (р v g) — закон введения v ;
рз (дзр) — закон консеквента;
(р з q) з (-i дз -. р) — закон контрапозиции;
(-I р з -I q) z> ( p) — закон усиленной контрапозиции;
(р z> (р z> /)) з ((р z> q) ZD (р з г)) — закон самодистрибутив-
ности импликации.
4—2061 97
Для утверждения того, что некоторая формула А является
законом логики, то есть тождественно-истинной, употребля-
ют обозначение: 1= А (таким образом этот знак (t=) можно
было бы поставить перед каждой из только что приведенных
формул).
Важно иметь в виду, что каждый закон логики имеет бес-
конечное множество вариантов. Например, простые вариан-
ты закона исключенного третьего: р{ v -, рх; р2 v -, р2; рб v -i p6
и т. д. Другие формулы получаем подстановкой вместо ка-
ких-либо его пропозициональных переменных любых фор-
мул данного языка (вместо всех вхождений одной и той же
переменной должна, конечно, подставляться одна и та же
формула). Так, получаем, например: (рэ g)v-.(pog);
(р3 & g6) v -. (р3 & д6) и т. д. В полученные выражения снова
можно совершать подобные подстановки вместо птютозици-
онных символов.
В обобщенном виде выражения законов логики получаем,
используя метаязыковые переменные А, В, С, D для любых
высказываний данного языка. Тогда для рассмотренных выше
законов получаем: A v-*A', (Аз В) з (-. В з -, A); А з (A v В);
(В & q з В; (Аз (Вз Q) з ((АзВ) z> (AD Q И Т. Д. ЭТО схемы
соответствующих законов логики.
Определяя отношение логического следования, закон ло-
гики, используя схемы высказываний, мы задаем тем самым
неявным образом бесконечное множество случаев отноше-
ния логического следования и законов логики. И в каждом
данном конкретном случае — для заданного множества вы-
сказываний Г и В и для заданного высказывания А — мы мо-
жем определить, имеется ли между Г и В отношение логи-
ческого следования и представляет ли собой А закон логики.
Имеется определенная связь между законами логики
вида А з В и отношением логического следования: t= (А з В)
е. т. е. A t= В; в более общей формулировке:
ИА1э...(АпзВ)...)«А1 Ап\=В.
Например, поскольку
\= ((р1з(р2зр3))з((р1зр2)з(р1зр3))),
имеем
98
а также
((Р,
и, наконец
Ясно, что не все формулы языка логики высказываний яв-
ляются тождественно-истинными. Имеются также так назы-
ваемые тождественно-ложные формулы —
формулы, принимающие значение Л (ложь) при любых рас-
пределениях значений имеющихся в них пропозициональных
переменных (символов). Любая тождественно-ложная форму-
ла представляет собой отрицание закона логики. Ясно также,
что имеет место и обратное — отрицание тождественно-лож-
ной формулы есть закон логики. Наконец, имеются формулы
не тождественно-истинные и не тождественно ложные — та-
кие, которые при одних распределениях значений пропози-
циональных переменных истинны, а при других — ложны:
рзд; ptvp2; р{^> [q&.r). Их называют обычно выполни-
мыми, имея в виду узкий смысл этого термина. В широком
смысле выполнимыми — принимающими значение «истина»
при каких-нибудь значениях переменных — являются и тож-
дественно-истинные формулы.
Читателю самому должен быть ясен ответ на вопрос: к
какому классу формул относится ->А, если само А не тож-
дественно-истинная и не тождественно-ложная формула.
• Упражнение
Определите, к какому типу (тождественно-истинная, тож-
дественно-ложная, выполнимая) относятся формулы:
р; -, р; pz> q; (рз (qz>p)); pz>p; (р & г»,
вторая — «-.г», а заключение — «-^q». Все рассуждение
представится в виде: (-> р v q)^r, -ir \= -i q. Отвлечемся теперь
от конкретных содержаний этих высказываний и соответ-
ствующих им инстинностных значений q, p, г; превратим по-
следние в пропозициональные переменные и все высказыва-
ния в логические формы, которые нам собственно только и
надо учитывать при решении вопроса о правильности рас-
суждения. Согласно понятию следования мы должны устано-
вить, во всех ли строчках таблицы, где истинны обе посыл-
ки, истинным является также и заключение.
Построение таблицы начинается с перебора всех распре-
делений истинностных значений И, А пропозициональных
переменных, имеющихся в посылка и заключении вывода. В
данном случае р, q, г. Это — входная часть таблицы. Далее
для каждого распределения, то есть для каждой строчки
входной части таблицы, вычисляются значения всех слож-
ных (содержащих логические связки) подформул данных
формул (в нашем примере — это подформулы первой по-
сылки .р, (-.pvq). Далее, в зависимости от значений по-
следних, а в конечном счете от значений пропозициональ-
ных переменных в каждой строчке, определяются значения
самих посылок и заключения вывода.
102
Ради сокращения процедуры вместо того, чтобы выписы-
вать отдельно сложные подформулы посылок и заключения,
можно, и мы сделаем это, подписывать ее значения под зна-
ком последней операции в ее построении (главный знак под-
формулы). Приводим соответствующую таблицу. Указанные
принципы ее построения легче уяснить, имея ее налицо
Как видим, интересующее нас следование имеет место.
Обе посылки истинны только в четвертой строчке, но в ней
истинно и заключение.

| распечатать

Другие новости по теме:

Другие новости по теме: