ЯЗЫК ЛОГИКИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ (СИНТАКСИС И СЕМАНТИКА ЯЗЫКА)

Время: 25-02-2013, 11:34 Просмотров: 2355 Автор: antonin
    
Язык, логика и исчисление высказываний
ЯЗЫК ЛОГИКИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
(СИНТАКСИС И СЕМАНТИКА ЯЗЫКА)
Прежде всего, очевидно, мы должны перечислить основ-
ные синтаксические категории этого языка, из которых дол-
жны строиться высказывания и высказывательные формы,
называемые формулами ЯЛВ. Перечень знаков этих катего-
рий называют исходными символами или, иногда, алфавитом
языка.
I. Исходные символы ЯЛВ:
а) пропозициональные переменные р, q, r, s, а также эти
же символы с числовыми индексами: pv p2, ... рп, ...
б) логические константы (связки): & (конъюнкция),
v (дизъюнкция), з (импликация), -1 (отрицание);
в) технические знаки1: ( — левая скобка; ) — правая
скобка.
Технические знаки здесь суть синкатегориматические ка-
тегории (см. § 6). Остальные выражения являются значащими
символами. Среди последних пропозициональные перемен-
ные суть дескриптивные термины (знаки), а остальные — ло-
гические. Напомним, что пропозициональные переменные не
имеют аналогов в естественном языке. Они появляются в
1
Слово «знак» здесь употребляется не в том смысле, как в предыдущей
главе. Это употребление является также распространенным: сравните —
«знаки препинания». Ясно, что точки, тире, запятые и т.д. не являются
представителями каких-то объектов. Слово «знак» употребляется здесь как
синоним слов «символ», «выражение» и т. п.
91
формализованном языке логики как знаки каких-то более
или мене сложных высказываний и, прежде всего, высказы-
ваний субъектно-предикатного характера, от структур (а тем
самым и от смысла которых) мы отвлекаемся при изучении
некоторых логических связей и форм выводов в рамках логи-
ки высказываний.
Для определения понятия формулы используется особый
прием — индуктивное определение. Определе-
ние по этому способу распадается на три основные части: в
первой дается перечень элементарных объектов, относящих-
ся к данному понятию, во второй части указываются те или
иные способы построения объектов определенного типа из
других объектов этого типа. В третьей части индуктивного
определения констатируется полнота (исчерпанность) пере-
числения определяемых объектов в первых двух частях.
II. Формулы:
1) Пропозициональные переменные р, q, г, s суть формулы;
2) если А и В — формулы, то (Л & В), (A vB), (А=>Ј), -,А
(и, конечно, -1 В) — формулы;
3) ничто, кроме указанного в пункте 1 и пункте 2, не есть
формула.
В целях удобства договоримся, что будем опускать внеш-
ние скобки в отдельно взятых формулах. Условимся также,
что & и v «связывают теснее», чем z>; это означает, что записи
Л&ВзС, A z> В & С, A v В z> С, Az>B\/ С понимаем соответ-
ственно как ((А & В)) з Q, (А => {В & Q), ((A v В) ID Q, (A => {В v Q.
Перечисление исходных знаков (символов) и правил об-
разования формул составляет синтаксис языка. Пока
мы не придаем нашим знакам (исходным, а также форму-
лам) никаких значений, мы имеем лишь некоторую схему
языка. Операция приписывания определенных значений
выражениям языка называется его интерпретацией. При
этом логические константы получают единую и постоянную
для данного языка интерпретацию, а дескриптивные зна-
ки — пропозициональные переменные в составе формул, —
а также сами формулы, могут получать различные интерпре-
тации от случая к случаю. Существование этой интерпрета-
ции определяет семантику языка. Естественно, что интер-
претации подлежат лишь значимые выражения языка. На-
помним, что наряду с пропозициональными переменными к
ним принадлежат теперь и формулы. Интерпретацию можно
92
разбить на два этапа. На первом этапе указываются лишь
типы возможных значений для значащих выражений языка
и — для сложных выражений — правила приписывания та-
ких значений в зависимости от значений составляющих. На
втором этапе указываются определенные значения дескрип-
тивных терминов (в языке логики высказываний — пропози-
циональных символов). Для логики существен лишь первый
этап. При осуществлении интерпретации на этом этапе каж-
дая формула, указанная в пункте 2, приобретает определен-
ный логический смысл (логическое содержание). А на вто-
ром этапе каждая формула превращается в определенное, —
но лишь по своему истинному значению — высказывание
(истинное или ложное), причем формулы пункта 1 представ-
ляют собой элементарные высказывания, а формулы пунк-
та 2 — сложные; при этом А и В, входящие в состав слож-
ных высказываний, называются также подформулами
указанных формул.
Выделяя первый этап интерпретации, имеем:
1. Пропозициональным знакам в качестве предметных
значений приписываются объекты из множества — истин-
ностных значений — {И, Л}, где И — истина, Л — ложь.
При этом каждому пропозициональному знаку в каждом
случае интерпретации приписывается лишь одно из указан-
ных значений. Естественно, подразумевается, что эти объек-
ты (И, Л) являются истинностными значениями каких-то вы-
сказываний, от смысловых структур которых мы отвлекаем-
ся в языке логики высказываний.
2. Формулам, указанным в пункте II, приписываются зна-
чения того же типа (И, Л) по следующим правилам (тоже ин-
дуктивного характера):
а) Формула вида А & В имеет значение И, если и только
если значение А есть, И и значение В есть И.
В противном случае — если значение А, или значения В,
или значения обоих вместе есть Л — формула этого вида име-
ет значение Л. В дальнейшем будем иметь в виду, что форму-
ла имеет значение Л, если она не имеет значения И (и наобо-
рот).
б) Формула вида A v В имеет значение Ие.т.е.1 — какая-
нибудь из ее составляющих — А или В — имеет это значение.
«е. т. е.» означает «если... и только если...».
93
в) Значение AZDB есть И е. т. е. имеет место какой-нибудь
из случаев (или оба): значение А = Л или значение В = И.
г) Значение формулы вида -»А есть И е. т. е. значение
А = Л.
В результате указанной интерпретации логических свя-
зок каждая формула приобретает некоторый смысл. Они
представляют собой логические формы возможных
высказываний. Назовем такие формулы полуинтерпретиро-
ванными. В дальнейшем, говоря о формулах языка (без спе-
циальных оговорок) будем иметь в виду полуинтерпретиро-
ванные формулы. Полная интерпретация той или иной фор-
мулы получается в результате приписывания истинностных
значений пропозициональным переменным. Полностью ин-
терпретированная формула — это некоторое высказы-
вание нашего языка. Такая интерпретация формул инте-
ресует логику лишь при решении некоторых конкретных за-
дач, например, при вычислении истинностных значений
сложных высказываний. Предположим, нам надо вычислить
истинностное значение высказывания вида (pvg)D-,p при
заданных значениях его составляющих: значение р — Л
(ложь), g— И (истина). По смыслу индуктивного определе-
ния для вычисления значения всего выражения надо вычис-
лить значения его составляющих (рvg) и -.р. Согласно
пункту б) первое имеет значение И, второе — согласно
пункту г) — также И. Следовательно, значение всего выра-
жения согласно пункту в) есть И.
• Упражнение
Вычислите значение каждой из формул при заданных
значениях переменных р — И, g — Л, г — Л, s — И:
а) g & g & s, p&s, g & г;
б) pvg, svp, gvr;
в) г з s, sz^r, p z> q, (p з q) z> s ;
r) -ir, is, -.(JIDS), -i (qr&s), -i {-^rvp), -.-.(-. g=>-ip).
Перечень правил приписывания значений формулам
пункта II содержит неявные определения логических связок.
Явное определение их будет дано посредством истинностных
таблиц (см. с. 101). Но уже сейчас из этих правил видно, на-
94
пример, что конъюнкция (&) в применении к двум высказы-
ваниям А и В указывает на наличие в действительности ситу-
аций, описываемых в высказываниях А и В. Она соответ-
ствует союзу «и» естественного языка при некоторых типич-
ных его употреблениях.
Дизъюнкция (v) в применении к таким же высказывани-
ям указывает на наличие какой-нибудь из этих ситуаций, а,
возможно, и обеих. Она представляет собой аналог есте-
ственноязыкового слова «или», когда оно употребляется не в
строго разделительном смысле.
Отрицание высказывания А (-• А) указывает на отсутст-
вие ситуации А.
Сложнее поддается разъяснению смысл утверждений, об-
разованных с помощью импликации (з). В некотором отно-
шении эта связка соответствует союзу «если..., то...» есте-
ственного языка, используемого для выражения некоторой
связи между явлениями действительности. Например: «Если
по проводнику течет ток, то проводник нагревается» или
«Если число оканчивается на 0 или 5, то оно делится на 5» и
др. Логическая же связка «з» является результатом опреде-
ленного упрощения смысла этого союза. В результате этого
упрощения истинными являются, например, такие высказы-
вания, как: «Если Эйфелева башня находится в Англии, то
Париж — столица Англии» или «Если Эйфелева башня нахо-
дится в Париже, то Новосибирск находится в Сибири». Пер-
вое из этих высказываний истинно в силу ложности первого
члена импликации, который называется антецедентом
импликации. Второе истинно в силу истинности второго чле-
на импликации, называемого консеквентом имплика-
ции. Несмотря на такое упрощение, и даже в силу его, эта
связка оказывается весьма полезной в составе описываемого
языка при использовании его как инструментария для анали-
за определенных логических процедур и отношений в рам-
ках естественного языка.

| распечатать

Другие новости по теме:

Другие новости по теме: